他的不完備定理讓全世界開(kāi)始反思

羅素悖論的出現(xiàn)，讓人們意識(shí)到生活中充滿了自我指涉帶來(lái)的矛盾。

羅素悖論有一個(gè)通俗版本，那就是理發(fā)師悖論

正如黑格爾所說(shuō)：人類(lèi)從歷史中學(xué)到的唯一的教訓(xùn)，就是沒(méi)有從歷史中吸取到任何教訓(xùn)。

那人類(lèi)究竟有沒(méi)有從歷史中吸取到教訓(xùn)？

大哲學(xué)家黑格爾的名言就是一種自我指涉

羅素悖論在數(shù)學(xué)界引發(fā)的地震，直接導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

于是數(shù)學(xué)家們八仙過(guò)海，各顯神通，分為三派試圖改造數(shù)學(xué)，走的最遠(yuǎn)的要數(shù)希爾伯特。

他設(shè)想將數(shù)學(xué)符號(hào)化，然后引入公理體系，像搭積木一樣，搭建出整座數(shù)學(xué)大廈。按他的設(shè)想，這座大廈將堅(jiān)實(shí)無(wú)比且毫無(wú)死角。

他對(duì)此（希爾伯特綱領(lǐng)）充滿信心，并于1930年9月8日在科尼斯堡的大會(huì)上發(fā)表了演講，說(shuō)出了那句名言“我們必須知道，我們必將知道”。

可他不知道的是，就在他發(fā)表演說(shuō)的前一天，在另一個(gè)規(guī)格不高的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研討會(huì)上，一位年輕人發(fā)表了一項(xiàng)聲明，而臺(tái)下正巧坐著希爾伯特的學(xué)生馮·諾依曼，他聽(tīng)完這個(gè)講話后就意識(shí)到，老師宏偉的設(shè)想不可能實(shí)現(xiàn)了。

馮·諾依曼是當(dāng)時(shí)臺(tái)下唯一意識(shí)到這個(gè)聲明的劃時(shí)代意義的人

發(fā)表講話的年輕人名叫哥德?tīng)?/span>（Kurt Friedrich G?del），當(dāng)時(shí)才24歲。第二年（1931年），他發(fā)表論文，正式提出了哥德?tīng)柕谝徊煌陚涠ɡ?/span>。

哥德?tīng)栕C明了一件事情，按照希爾伯特構(gòu)想下的數(shù)學(xué)大廈，將不具有完備性，也就是說(shuō)無(wú)法從幾條公理推導(dǎo)出所有的命題來(lái)。

讓我們來(lái)看看這位天才是如何做到的。

他的證明僅僅只用了兩步。

第一步，哥德?tīng)柵鋽?shù)。

他將所有的數(shù)字、符號(hào)和命題都變成唯一的數(shù)字哥德?tīng)枖?shù)。

比如他規(guī)定最基本的固定符號(hào)和數(shù)字變量對(duì)應(yīng)于前幾個(gè)自然數(shù)。

這樣就能表達(dá)所有的命題，比如：這個(gè)等式x=5，自然數(shù)都可以表示為0的后繼，于是每個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的哥德?tīng)枖?shù)是這樣的。

然后將質(zhì)數(shù)從小到大排列，將各個(gè)符號(hào)的哥德?tīng)枖?shù)按順序放到指數(shù)位置，整體相乘得到的數(shù)字就是整個(gè)等式的哥德?tīng)枖?shù)。

因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)字的分解質(zhì)因數(shù)是唯一的，因此可以把所有的等式、命題和證明都寫(xiě)成哥德?tīng)枖?shù)的形式。而且已知一個(gè)哥德?tīng)枖?shù)，還能通過(guò)分解質(zhì)因數(shù)，反過(guò)來(lái)知道對(duì)應(yīng)的等式或者命題。

第二步，構(gòu)造自指命題。

定義這樣一個(gè)命題：無(wú)法證明哥德?tīng)枖?shù)為k的命題。

符號(hào)形式：?a?R(k,a)

那么這個(gè)命題會(huì)存在一個(gè)哥德?tīng)枖?shù)，展開(kāi)形式是這樣的，必定有某個(gè)質(zhì)數(shù)的指數(shù)為k，來(lái)對(duì)應(yīng)命題中出現(xiàn)的k這個(gè)數(shù)字，這個(gè)哥德?tīng)枖?shù)很大，我們假定它為：n

我們將n替換原命題的k，那么原來(lái)這個(gè)哥德?tīng)枖?shù)展開(kāi)式中的數(shù)字k將被數(shù)字n所替代。

注意我們要進(jìn)行無(wú)盡地替換，因?yàn)閷再展開(kāi)，還有k，將其中包含的k再用數(shù)字n所替代，以至無(wú)窮。

這個(gè)新的哥德?tīng)枖?shù)我們定為G，那么G對(duì)應(yīng)的是一個(gè)什么命題？

恰好對(duì)應(yīng)的就是：無(wú)法證明哥德?tīng)枖?shù)為“將n的展開(kāi)式中的k都換成n”的命題。

“將數(shù)字n的展開(kāi)式中的k都替換成n”的新哥德?tīng)枖?shù)恰恰就是G。

所以到此為止，我們構(gòu)造了一個(gè)不可思議的“無(wú)法證明哥德?tīng)枖?shù)是G的命題”，這個(gè)命題的哥德?tīng)枖?shù)恰好就是G！

接下來(lái)就是我們熟悉的悖論環(huán)節(jié)了：

如果這個(gè)命題“無(wú)法證明哥德?tīng)枖?shù)是G的命題”是假的

那么就說(shuō)明可以證明哥德?tīng)枖?shù)是G的命題

而哥德?tīng)枖?shù)是G的命題就是“無(wú)法證明哥德?tīng)枖?shù)是G的命題”

那么就可以推出“無(wú)法證明哥德?tīng)枖?shù)是G的命題”為真

與假設(shè)矛盾

所以這個(gè)不可思議的命題為真

若這個(gè)命題為真，則說(shuō)明系統(tǒng)中存在真卻無(wú)法被證明的命題。

也就意味著這個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的完備性不存在。

希爾伯特為了解決羅素悖論而構(gòu)想的綱領(lǐng)，竟然還是被反身自指所擊潰，看來(lái)羅素悖論比想象中要強(qiáng)大。

更令人沮喪的是，哥德?tīng)柌痪糜职l(fā)表了第二不完備定理，就是通過(guò)之前的結(jié)論，順理成章地推導(dǎo)出，系統(tǒng)的一致性也無(wú)法被證明。

哥德?tīng)栆?span style="text-wrap: wrap; letter-spacing: 1px;">一己之力推翻了希爾伯特的宏大設(shè)想，徹底改變了數(shù)理邏輯的發(fā)展方向。

他雖然成了數(shù)理邏輯的“終結(jié)者”，但他的研究大大促進(jìn)了計(jì)算機(jī)的發(fā)展。多年后，圖靈找到了另一種證明哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ淼姆椒?，原?lái)一切都是殊途同歸。

圖靈的“停機(jī)問(wèn)題”與哥德?tīng)柌煌陚涠ɡ硎馔就瑲w

哥德?tīng)柕陌l(fā)現(xiàn)為數(shù)學(xué)劃出了邊界，在數(shù)學(xué)王國(guó)里，終究有一些人力所不能及的地方。數(shù)學(xué)大廈也許并不完美，但經(jīng)此一役，恰恰說(shuō)明了它的絕大部分依然堅(jiān)固無(wú)比。

不完備性背后的本質(zhì)，是自我指涉帶來(lái)的矛盾。認(rèn)識(shí)自己，一直是世上最深刻的、最終極的問(wèn)題之一。

哥德?tīng)柕臋M空出世讓人們?cè)俅位叵肫穑瑑汕昵疤K格拉底的那個(gè)靈魂發(fā)問(wèn)：我是誰(shuí)？

雖然哥德?tīng)枌?shù)學(xué)王國(guó)從理想世界里拉了回來(lái)；但也許正是自我指涉，才讓這個(gè)真實(shí)的世界變得更加有趣。